Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)
Лекции по
1 курс
Москва 2000
Лекция 1
Множество. Алгебра множеств.
Введем обозначения.
R – множество действительных чисел.
X e R – элемент X принадлежит множеству R.
Равные множества – множества, состоящие из одинаковых элементов.
A = B – множество А равно множеству B.
0 – пустое множество.
A<= C – Множество А является подмножеством множества С.
Если А не равно С и А <= C, то А < С. (строго).
Если A <= C и C <= А, то А = С.
Пустое множество 0 является подмножеством любого множества.
Существуют конечные и бесконечные множества. Пусть n – число элементов данного множества А. Это число называется мощностью данного множества.
У множества рациональных чисел мощность является счетной (т.е. все элементы можно пронумеровать).
У множества иррациональных чисел мощность – континиум. Обозначается (С).
Основное правило комбинаторики (показано на примере)
Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую – m, третью – k. Всего способов раскраски палочки – n*m*k.
Аналогично с множествами
U = {a1,a2… an-1, an}
Пусть U = {a1, a2, a3}
Выпишем множество всех подмножеств множества U.
P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}.
Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8.
Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2n.
Операции над множествами
Объединение множеств (A U B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А ИЛИ множеству В.
Пересечение множеств (A n B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А И множеству В.
Дополнение множества А. (С = А ) – не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежат множеству А.
Свойства операций над множествами.
A U B = B U A – коммутативность
. A n B = B n A
(A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C – ассоциативность.
(A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) – дистрибутивность.
Поглощение A U A = A, A n A = A.
Существование универсальных границ.
А U 0 = A
A n 0 = 0
A u U = U
A n U = A
6. Двойное дополнение
A = A
7. A U A = U
A n A = 0
8. Законы двойственности или закон Де – Моргана
(AUB) = A n B
(AnB) = A U B
Лекция 2
Теория булевых функций. Булева алгебра.
Определение.
Множество M с двумя введенными бинарными операциями (& V), одной унарной операцией (*) и двумя выделенными элементами называется булевой алгеброй, если выполнены следующие свойства (аксиомы булевой алгебры). Названия операций пока не введены.
X & Y = Y&X, X V Y = Y V X – коммутативность.
(X & Y) & Z = X & (Y & Z), (X V Y) V Z = X V (Y V Z) – ассоциативность.
(X V Y) & Z = (X & Z) V (Y & Z), (X & Y) V (Y & Z) = (X V Z) & (Y & Z) – дистрибутивность.
Поглощение – X & X = X, X V X = X.
Свойства констант
X & 0 = 0
X & I = X, где I – аналог универсального множества.
Инвальтивность (X*)* = X
Дополнимость X V X* = I, X & X* = 0.
Законы двойственности – (X & Y)* = X* V Y*, (X V Y)* = X* & Y
Булева алгебра всех подмножеств данного множества.
U = {a1, a2… an)
[U] = N
[P(U)] = 2n
Легко показать, что свойства операций над множествами совпадают со свойствами (аксиомами) булевой алгебры. То есть, множество P(U) с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй.
Oбъединение эквивалентно V, пересечение - &, дополнение - *, пустое множество – 0, а универсальное – I.
Все аксиомы булевой алгебры справедливы в операциях над множествами.
Булева алгебра характеристических векторов.
Пусть A <= U, A <- P(U) - характеристический вектор этого подмножества.
A = {, 2 ..n)
n = [P(U)]
i = 1, если ai <- A (принадлежит).
i = 0, если ai не принадлежит A.
U = {1 2 3 4 5 6 7 8 9}
A = {2 4 6 8}
B = {1 2 7}
A = {0 1 0 1 0 1 0 1 0}
B = {1 1 0 0 0 0 1 0 0}
или
A = 010101010 – скобки не нужны
A= 110000100
Характеристические векторы размерностью n называются булевыми векторами.
Они р...
